Question

已知：如圖，⊙O和⊙A相交于C、D，圓心A在⊙O上，過A的直線與CD、⊙A、⊙O分別交于F、E、B．
求證：（1）△AFC∽△ACB； （2）AE²=AF•AB．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理，即可得出∠ACD=∠B．∠A=∠A，從而可推出△AFC∽△ACB；
（2）由（1）知，△AFC∽△ACB利用相似三角形的性質即可得出．

解答：證明：連接AD，
（1）∵AC=AD=AE，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠D，
∵∠D=∠B，
∴∠ACD=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△AFC∽△ACB；

（2）由（1）知：
△AFC∽△ACB，
即

AC

AB

=

AF

AC

，
即AC²=AF•AB．
∵AE=AC，
∴AE²=AF•AB．

點評：此題考查的是圓與圓的位置關系和相似三角形的判定，屬于基礎性題目．