Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是平行四邊形，線段AD=6，二次函數y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{6}$x+4與y軸交于A點，與x軸分別交于B點、E點（B點在E點的左側）
（1）分別求A、B、E點的坐標；
（2）連接AE、OD，請判斷△AOE與△AOD是否相似并說明理由；
（3）若點M在平面直角坐標系內，則在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出F點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別將x=0和y=0代入可求得A、B、E點的坐標；
（2）根據坐標求出AO和OE的長，將兩個直角三角形對應小直角邊計算比值為$\frac{3}{2}$，對應大直角邊計算比值也是$\frac{3}{2}$，所以根據兩邊對應成比例，且夾角相等，所以兩三角形相似；
（3）只需要滿足△ACF為等腰三角形，即可找到對應的菱形，所以構建△ACF為等腰三角形有四種情況：①以A為圓心畫圓，交直線AB于F₁、F₂，②作AC的中垂線交直線AB于F₃，③以C為圓心，以AC為半徑，畫圓交直線AB于F₄，利用勾股定理列式可求得點F的坐標．

解答 解：（1）當x=0時，y=4，
∴A（0，4），
當y=0時，-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{6}$x+4=0，
2x²+x-24=0，
（x+3）（3x-8）=0，
x₁=-3，x₂=$\frac{8}{3}$，
∴B（-3，0），E（$\frac{8}{3}$，0）；
（2）△AOE與△AOD相似，理由是：
∵A（0，4），
∴OA=4，
∵E（$\frac{8}{3}$，0），
∴OE=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{AO}{OE}$=$\frac{4}{\frac{8}{3}}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{AD}{AO}=\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AO}{OE}=\frac{AD}{AO}$，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∵BC⊥AO，
∴AD⊥AO，
∴∠OAD=∠AOE=90°，
∴△AOE∽△DAO，
（3）如圖2，在Rt△AOC中，AC=4，OC=3，
∴AC=5，
同理AB=5，
∴△ABC是等腰三角形，
∴當F與B重合時，存在A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形，
即F₁（-3，0），
當AF₂=AB=5時，△AF₂C是等腰三角形，存在A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形，
此時F₂與B關于點A對稱，
∴F₂（3，8），
設直線AB的解析式為：y=kx+b，
把A（0，4），B（-3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=$\frac{4}{3}$x+4，
如圖2，作AC的中垂線l，交直線AB于F₃，連接F₃C，分別過A、F₃作x軸、y軸的平行線，交于H，HF₃交x軸于G，
則AF₃=F₃C，
設F₃（x，$\frac{4}{3}$x+4），
則$A{H}^{2}+{F}_{3}{H}^{2}$=$C{G}^{2}+{F}_{3}{G}^{2}$，
（-x）²+（4-$\frac{4}{3}$x-4）²=（-$\frac{4}{3}$x-4）²+（-x+3）²，
x=-$\frac{75}{14}$，
當x=-$\frac{75}{14}$時，y=$\frac{4}{3}$×$（-\frac{75}{14}）$+4=-$\frac{22}{7}$，
∴F₃（-$\frac{75}{14}$，-$\frac{22}{7}$）；
如圖3，以C為圓心，以AC為半徑，畫圓交直線AB于F₄，過F₄作F₄P⊥x軸于P，則AC=F₄C，
設F₄（x，$\frac{4}{3}$x+4），
則${3}^{2}+{4}^{2}=（\frac{4}{3}x+4）^{2}+（-x+3）^{2}$，
$\frac{25}{9}{x}^{2}+\frac{14}{3}x$=0，
25x²+42x=0，
x（25x+42）=0，
x₁=0（舍），x₂=-$\frac{42}{25}$，
當x=-$\frac{42}{25}$時，y=$\frac{44}{25}$，
∴F₄（-$\frac{42}{25}$，$\frac{44}{25}$），
綜上所述，F點的坐標為：F₁（-3，0），F₂（3，8），F₃（-$\frac{75}{14}$，-$\frac{22}{7}$），F₄（-$\frac{42}{25}$，$\frac{44}{25}$）．

點評 本題是二次函數的綜合題，考查了二次函數與兩坐標軸的交點、平行四邊形、菱形和等腰三角形的性質和判定、相似三角形的性質和判定，在構建等腰三角形時，分三種情況進行討論，根據腰長相等并與勾股定理相結合列式解決問題．