Question

已知直線y=x與直線y=kx+b交于點A（m，n）（m＞0），點B在直線y=x上且與點A關于坐標原點O成中心對稱．
（1）若OA=1，求點A的坐標；
（2）若坐標原點O到直線y=kx+b的距離為1.94，直線y=kx+b與x軸正半軸交于點P，且△PAB是以PA為直角邊的直角三角形，求點A的坐標．（sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27）

Answer 1

（1）解1：過點A作AD⊥x軸，垂足為D．
在RT△AOD中，
AD=n，OD=m．
∵點A（m，n）在直線y=x上，
=，
即tan∠AOD=，
∴∠AOD=30°，
∵OA=1，
∴n=，m=．
∴A（，）．
解2：過點A作AD⊥x軸，垂足為D．
在RT△AOD中，
AD=n，OD=m．
∵OA=1，
∴m²+n²=1．
又∵點A（m，n）在直線y=x上
∴n=m．
∴n=，m=．
∴A（，）．

（2）解：若∠BAP=90°．
則AO=1.94．
∵∠AOD=30°，
∴點A（，0.97）．
若∠APB=90°．
由題意知點O是線段AB的中點．
∴OP=OA．
過點O作OE垂直AP，垂足為E．
則有OE=1.94．
∵∠AOD=30°，
∴∠AOE=15°．
在RT△AOE中，
AO=
=
=2．
∴點A（，1）．
分析：（1）首先根據點A（m，n）在直線y=x上，得出∠AOD=30°，進而得出m，n的值，即可得出A點坐標；
（2）若∠BAP=90°，則AO=1.94，∠AOD=30°，即可得出A點坐標，若∠APB=90°，由題意知點O是線段AB的中點進而得出A點坐標即可．
點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用，根據已知進行分類討論分別利用若∠BAP=90°，若∠APB=90°求出是解題關鍵．