Question

8．如圖1，在平面直角坐標系中，已知A（a，0），B（b，3），C（4，0），且滿足（a+b）²+|a-b+6|=0，線段AB交y軸于F點．
（1）求點A、B的坐標；
（2）點D為y軸正半軸上一點，若ED∥AB，且AM，DM分別平分∠CAB，∠ODE，如圖 2，求∠AMD的度數；
（3）如圖 3，（也可以利用圖 1）①求點F的坐標；②坐標軸上是否存在點P，使得△ABP和△ABC的面積相等？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據非負數的性質可求出a和b，即可得到點A和B的坐標；
（2）由平行線的性質結合角平分線的定義可得則∠NDM-∠OAN=45°，再利用∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，得到∠NDM-（90°-∠DNM）=45°，所以∠NDM+∠DNM=135°，然后根據三角形內角和定理得180°-∠NMD=135°，可求得∠NMD=45°；
（3）①連結OB，如圖3，設F（0，t），根據S_△AOF+S_△BOF=S_△AOB，得到關于t的方程，可求得t的值，則可求得點F的坐標；②先計算△ABC的面積，再分點P在y軸上和在x軸上討論．當P點在y軸上時，設P（0，y），利用S_△ABP=S_△APF+S_△BPF，可解得y的值，可求得P點坐標；當P點在x軸上時，設P（x，0），根據三角形面積公式得，同理可得到關于x的方程，可求得x的值，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵（a+b）²+|a-b+6|=0，
∴a+b=0，a-b+6=0，
∴a=-3，b=3，
∴A（-3，0），B（3，3）；
（2）如圖2，

∵AB∥DE，
∴∠ODE+∠DFB=180°，
而∠DFB=∠AFO=90°-∠FAO，
∴∠ODE+90°-∠FAO=180°，
∵AM，DM分別平分∠CAB，∠ODE，
∴∠OAN=$\frac{1}{2}$∠FAO，∠NDM=$\frac{1}{2}$∠ODE，
∴∠NDM-∠OAN=45°，
而∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，
∴∠NDM-（90°-∠DNM）=45°，
∴∠NDM+∠DNM=135°，
∴180°-∠NMD=135°，
∴∠NMD=45°，
即∠AMD=45°；
（3）①連結OB，如圖3，

設F（0，t），
∵S_△AOF+S_△BOF=S_△AOB，
∴$\frac{1}{2}$•3•t+$\frac{1}{2}$•t•3=$\frac{1}{2}$×3×3，解得t=$\frac{3}{2}$，
∴F點坐標為（0，$\frac{3}{2}$）；
②存在．
△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×7×3=$\frac{21}{2}$，
當P點在y軸上時，設P（0，y），
∵S_△ABP=S_△APF+S_△BPF，
∴$\frac{1}{2}$•|y-$\frac{3}{2}$|•3+$\frac{1}{2}$•|y-$\frac{3}{2}$|•3=$\frac{21}{2}$，解得y=5或y=-2，
∴此時P點坐標為（0，5）或（0，-2）；
當P點在x軸上時，設P（x，0），
則$\frac{1}{2}$•|x+3|•3=$\frac{21}{2}$，解得x=-10或x=4，
∴此時P點坐標為（-10，0），
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（0，5）或（0，-2）或（-10，0）．

點評 本題為三角形的綜合應用，涉及非負數的性質、角平分線的定義、平行線的性質、三角形內角和定理、三角形的面積、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意非負數的性質的運用，在（2）利用三角形內角和及角平分線的性質等得到∠NDM+∠DNM=135°是解題的關鍵，在（3）中由三角形的面積得到關于點的坐標的方程是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．