Question

（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝4：3，點P從點A出發沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．

（1）求AC、BC的長；

（2）設點P的運動時間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當△PBQ存在時，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由；

（4）當x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點M，使△BCM得周長最小，若存在，求出最小周長，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）AC=8cm BC=6cm （2）y= （3）見解析 （4）16

【解析】

試題分析：（1）設AC=4x，BC=3x，根據勾股定理進行求解；（2）分兩種情況來進行討論，分別求出函數解析式；（3）利用三角形相似的條件來進行計算；（4）利用軸對稱的性質來進行計算.

試題解析：（1）設AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，即：（4x）²+（3x）²=10²，

解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）①、∵△QHB∽△ACB， ∴，

∴QH=x，y=BP·QH=（10-x）·x=-x²+8x（0＜x≤3），

②當點Q在邊CA上運動時，過點Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=x，∴BP=10-x，AQ=14-2x，∵△AQH′∽△ABC， ∴，即：，解得：QH′=（14-x），

∴y=PB·QH′=（10-x）·（14-x）=x²-x+42（3＜x＜7）；

∴y與x的函數關系式為：y=；

（3）∵AP=x，AQ=14-x， ∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴，

即：，解得：x=，PQ=，∴PB=10-x=，∴，

∴當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC不相似；

（4）存在，理由：∵AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，∴PQ是△ABC的中位線，

∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分線，∴PC=AP=5，∴當點M與P重合時，△BCM的周長最小， ∴△BCM的周長為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16，

∴△BCM的周長最小值為16。

考點：三角形相似的應用、勾股定理、二次函數的實際應用