Question

如圖（a），點F、G、H、E分別從正方形ABCD的頂點B、C、D、A同時出發，以1cm/s的速度沿著正方形的邊向C、D、A、B運動．若設運動時間為x（s），問：
（1）四邊形EFGH是什么圖形？證明你的結論；
（2）若正方形ABCD的邊長為2cm，四邊形EFGH的面積為y（cm²），求y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍；
（3）若改變點的連接方式（如圖（b）），其余不變．則當動點出發幾秒時，圖中空白部分的面積為3cm²．

Answer 1

【答案】分析：（1）用全等或利用勾股定理計算都可得到HE=EF=FG=GH，說明∠G=90°，得四邊形EFGH是正方形；
（2）設運動時間為x（s），則直角△AHE中，AH=x，AE=2-x．根據勾股定理即可求得HE的長，再根據正方形的面積公式即可求解；
（3）空白部分的面積=，即可得到一個關于x的方程，解方程即可求解．
解答：解：（1）（本小題共4分）
∵正方形ABCD中AB=BC，而∠A=∠B=90°
又∵AH=BE
∴AE=BF
∴△AEH≌△BFE
∴HE=EF，∠HEA=∠EFB
而∠HEA+∠AHE=90°
∴∠HEA+∠FEB=90°
∴∠HEF=90°
同理：HE=EF=FG=GH
∴四邊形EFGH是正方形．

（2）（本小題共5分）
（3）（3分）
=2x²-4x+4（0＜x＜2）（（1分），自變量取值范圍（1分），共2分）

（3）（本小題共3分）空白部分的面積=（2分），
方程為：（到此就可得1分），
化簡得：4x³-3x²-12=0，
由計算器估算得x≈1.74
所以當動點出發約1.74秒時，圖中空白部分的面積為3cm²．（直接給出結果給1分）
點評：本題主要考查了三角形全等的判定，以及一些不規則圖形的面積的求解方法，可以轉化為一些規則圖形的面積的和或差求解．