Question

如圖1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E．

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，求OG的長．

Answer 1

（1）見解析 （2）OG=1

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)△OBC為等邊三角形，以及∠AOB=30°和∠OAB=90°，說明OC∥AB，根據(jù)∠BCO和∠AEO的度數(shù)說明BC∥AE，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形進行判斷；（2）根據(jù)直角△OAB求出OA的平方，然后根據(jù)直角△AOG的勾股定理求出OG的長度.

試題解析：（1）證明：∵Rt△OAB中，D為OB的中點， ∴DO=DA，

∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°， ∴∠AEO=60°，

又∵△OBC為等邊三角形， ∴∠BCO=∠AEO=60°， ∴BC∥AE，

∵∠BAO=∠COA=90°， ∴CO∥AB，

∴四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）【解析】
設OG=x，由折疊可得：AG=GC=8﹣x，

在Rt△ABO中， ∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，

∴AB=BO=4

∴OA²=BO²-AB²=8²-4²=48

在Rt△OAG中，OG²+OA²=AG²，

x²+48=（8﹣x）²，

解得：x=1，

∴OG=1．

考點：平行四邊形的判定、勾股定理的應用