Question

已知b、c是整數，二次三項式x²+bx+c既是x⁴+6x²+25的一個因式，也是3x⁴+4x²+28x+5的一個因式，求x=1時，x²+bx+c的值．

Answer 1

解：∵二次三項式x²+bx+c既是x⁴+6x²+25的一個因式，也是3x⁴+4x²+28x+5的一個因式，
∴也必定是x⁴+6x²+25與3x⁴+4x²+28x+5差的一個因式，而3（x⁴+6x²+25）-（3x⁴+4x²+28x+5）=14（x²-2x+5），
∴x²-2x+5=x²+bx+c，
∴b=-2，c=5，
∴當x=1時，x²+bx+c=1-2+5=4．
分析：根據二次三項式x²+bx+c既是x⁴+6x²+25的一個因式，也是3x⁴+4x²+28x+5的一個因式，我們可得到x²+bx+c也必定是x⁴+6x²+25與3x⁴+4x²+28x+5差的一個因式．通過做差，就實現了降次，最高次冪成為2，與二次三項式x²+bx+c關于x的各次項系數對應相等，解得b、c的值．再將x=1、b、c代入求值．
點評：本題考查因式分解．解決本題的關鍵是通過作差，實現了降次，再根據兩代數式相等必是x的各次項系數對應相等．