Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝，點E從A出發沿線段AC運動至點C停止，ED⊥AB，EF⊥AC，將△ADE沿直線EF翻折得到△A′D′E，設DE＝x，△A′D′E與△ABC重合部分的面積為y．

（1）當x＝　 　時，D′恰好落在BC上？

（2）求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

（1）先根據勾股定理求出AB的值，然后根據同角的正弦函數值相等表示出AE為3x，當點D′恰好落在BC上時，再根據等角的三角函數值相等表示出EC為，然后求出x的值即可；

（2）由（1）可得AE和AD，當點A'與點C重合時，求出x的值，然后根據三角形的面積公式分三種情況討論，求出y關于x的函數關系式即可.

解：（1）在Rt△ABC中，AB＝，

∴sinA=,

∵DE=x，

∴AE＝3x，

當D′恰好落在BC上時，如圖所示：

ED′＝ED＝x，∠DEA＝∠D′EC，

∴∠ED′C＝∠A，

∴EC＝x，

∵3x+x＝6，

∴x＝，

故答案為：；

（2）由（1）可得，AE=3x，

∴AD＝，

當點A'與點C重合時，AE=EC=AC=3，

∴3x＝3

∴x＝1．

①當0＜x≤1時，如圖1，y=；

②當1＜x≤時，如圖2，

∵AE＝A'E＝3x，

∴AA'＝6x．

∴CA'＝6x﹣6．

∵tan A'，

∴，

∴y=

＝-；

③當時，如圖3，

∵∠EIC+∠IEC＝∠IEC+∠A'，

∴∠EIC＝∠A'．

∴ ,

∵CE＝（6﹣3x），

∴

∴

＝

綜上所述，.