Question

【題目】如圖，AB，AC均為⊙O的切線，切點分別為B，C，點D是優弧BC上一點，則下列關系式中，一定成立的是（　　）

A. ∠A+∠D＝180°B. ∠A+2∠D＝180°

C. ∠B+∠C＝270°D. ∠B+2∠C＝270°

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接OB，OC，由AB與AC為圓O的切線，根據切線的性質以及四邊形的內角和為360度可對選項A、B作出判斷；連接OB、BC，OC，延長BO交圓于E，連接DE，根據直徑所對的圓周角是直角，可求得∠DBE+∠E＝90°，繼而通過角的代換可得∠ABO+∠DBE+∠BCD+∠ACO＝270°，再根據∠ACB＜∠ACO，繼而可得∠ABD+∠ACD＜270°，∠ABD+∠ACD+∠OCB＝270°，由此即可判斷C、D選項.

連接OB，OC，如圖1所示：

∵AB，AC分別為圓O的切線，

∴AB⊥OB，AC⊥OC，

∴∠ABO＝∠ACO＝90°，

∴∠A+∠BOC＝360°﹣(∠ABO+∠ACO)＝180°，

∵∠BOC＝2∠D，

∴∠A+2∠D＝180°，故A不成立，B成立；

②連接OB、BC，OC，延長BO交圓于E，如圖2所示：

∵BE是直徑，

∴∠BDE＝90°，

∴∠DBE+∠E＝90°，

∵∠ABO＝∠ACO＝90°，∠E＝∠BCD，

∴∠ABO+∠DBE+∠BCD＝180°，

∴∠ABO+∠DBE+∠BCD+∠ACO＝270°，

∵∠ACB＜∠ACO，

∴∠ABO+∠DBE+∠BCD+∠ACB＜270°，

即∠ABD+∠ACD＜270°，∠ABD+∠ACD+∠OCB＝270°，

∵∠OCB＜∠ACD，故C、D都不成立，

故選B．