Question

3．如圖，點O是等邊△ABC內的一點．∠BOC=α，將△BOC繞點C按順時針旋轉60°得到△ADC，連接OD．
（1）當α=100°時，∠ODA=40°；當α=120°時，∠ODA=60°；
（2）若α=150°，OB=5，OC=6．求OA的長．

Answer 1

分析 （1）根據條件可以證明△ODC是等邊三角形，利用∠ADO=∠ADC-ODC即可得出．
（2）根據已知條件可以證明∠ADC=90°，利用勾股定理可以解決．

解答 解：（1）∵△BOC繞點C按順時針旋轉60°得到△ADC
∴∠OCD=60°，OC=CD，
∴△ODC是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∵∠ADC=∠BOC=α=100°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=100°-60°=40°，
當∠ADC=∠BOC=α=120°時，∠ADO=∠ADC-∠ODC=120°-60°=60°
故答案分別為40°、60°．
（2）由（1）可知，當∠ADC=∠BOC=α=150°時，∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∵AD=OB=5，OD=DC=OC=6，
∴OA=$\sqrt{A{D}^{2}+D{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{61}$．

點評 本題考查旋轉的性質、等邊三角形的判定和性質、勾股定理等知識，利用旋轉不變性是解題的關鍵．