Question

【題目】如圖，已知△ABC是⊙O的內接三角形，AB為⊙O的直徑，OD⊥AB于點O，且∠ODC=2∠A．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AB=6，，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）4

【解析】分析：(1)、連接OC，根據等腰三角形的性質得出∠BOC=2∠A，結合∠ODC=2∠A得出∠ODC=∠BOC，根據OD⊥AB得出∠ODC+∠COD=90°，即∠OCD=90°，從而得出答案；(2)、過點C作CH⊥AB于點H，根據圓周角的性質以及Rt△ABC的勾股定理得出BC的值，根據Rt△BCH的勾股定理得出BH、CH和OH的長度，然后根據△DOC和△OCH相似得出答案．

詳解：(1)證明：如圖，連接OC，

∵△ABC是⊙O的內接三角形，∴OA=OC，∴∠A=∠ACO， ∴∠BOC=2∠A.

又∵∠ODC=2∠A，∴∠ODC=∠BOC， ∵OD⊥AB，即∠BOC+∠COD=90°，∴∠ODC+∠COD=90°,

∴∠OCD=90°, 即CD⊥OC，又OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線.

(2)如圖，過點C作CH⊥AB于點H， ∵AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，∴∠ACB=90°,

又∠CBH＝∠ABC，∴∠BCH＝∠A， 在Rt△ABC中，，

∴，則，，

又在Rt△BCH中，，∴，

則，∴，， ∵OB＝OC＝3，∴，

又∵Rt△DOC∽Rt△OCH， ∴則 .