Question

（2013•賀州）如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CN∥AB，DN交AC于點M，若MA=MC．
（1）求證：CD=AN；
（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四邊形ADCN的面積．

Answer 1

分析：（1）利用“平行四邊形ADCN的對邊相等”的性質可以證得CD=AN；
（2）根據“直角△AMN中的30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得AN=2MN=2，然后由勾股定理得到AM=

3

，則S_{四邊形ADCN}=4S_△AMN=2

3

．

解答：（1）證明：∵CN∥AB，
∴∠1=∠2．
在△AMD和△CMN中，

∠1=∠2 MA=MC ∠AMD=∠CMN(對頂角相等)

，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN．
又AD∥CN，
∴四邊形ADCN是平行四邊形，
∴CD=AN；

（2）解：∵AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，
∴AN=2MN=2，
∴AM=

AN2-MN2

=

3

，
∴S_△AMN=

1

2

AM•MN=

1

2

×

3

×1=

3

2

．
∵四邊形ADCN是平行四邊形，
∴S_{四邊形ADCN}=4S_△AMN=2

3

．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質、勾股定理以及全等三角形的判定與性質．解題時，還利用了直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半．