Question

如圖：拋物線y=－x2＋bx＋c交x軸于A、B，直線y=x＋2過點A，交y軸于C，交拋物線于D，且D的縱坐標為5．

（1）求拋物線解析式；

（2）點P為拋物線在第一象限的圖象上一點，直線PC交x軸于點E，若PC=3CE，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，點Q為x軸上一點，把△PCQ沿CQ翻折，點P剛好落在x軸上點G處，求Q點的坐標．

Answer 1

（1）y=-x2+2x+8；（2）P（2，8）；（3）Q（-4，0）或Q（2，0）．

【解析】

試題分析：（1）將已知點的坐標代入二次函數的一般形式利用待定系數法確定二次函數的解析式即可；

（2）設P（m，-m2+2m+8），作PH⊥x軸，交x軸于點H，從而得到△EOC∽△EHP，利用相似三角形對應邊的比相等得到PH=4OC，從而列出方程-m2+2m+8=4×2，求得m的值即可確定點的坐標；

（3）作PK⊥y軸，從而得到PK=2，KC=8-2=6，然后由翻折得△CQG≌△CQP，從而得到QG=QP，CG=CP=2，然后在Rt△OCG中求得GO的長即可求得點G的坐標．

試題解析：（1）∵y=x+2，

∴A（-2，0），

∵D的縱坐標為5，

∴5=x+2，

解得：x=3

∴D（3，5），

又∵A（-2，0）D（3，5）在拋物線y=-x2+bx+c上，

∴

解得

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+8；

（2）設P（m，-m2+2m+8），

作PH⊥x軸，交x軸于點H，

∴CO∥PH，

∴△EOC∽△EHP，

∴，

∵PC=3CE，

∴，

∴PH=4OC，

∴-m2+2m+8=4×2，

解得 m=2，或m=0（舍去），

∴P（2，8）；

（3）作PK⊥y軸，

∴PK=2，KC=8-2=6，

在Rt△CPK中，CP=2，

由翻折得△CQG≌△CQP，

∴QG=QP，CG=CP=2，

在Rt△OCG中，

∵CP=2，OC=2，

∴GO=6，

∴G（6，0）或G（-6，0），

過P作PH⊥x軸，則H（2，0），且PH=8，

設Q（n，0）

則QP2=PH2+QH2=82+（n-2）2，

GQ=|xQ-xG|=|n-（±6）|

因為QG=QP，

82+（n-2）2=[n-（±6）]2，

解得n=-4，或n=2，

∴Q（-4，0）或Q（2，0）．

考點：二次函數綜合題．