Question

1．如圖，在△ABC中，∠C=150°，AC=2，tanB=$\frac{1}{8}$．
（1）求BC的長；
（2）求tan15°的值（保留根號）

Answer 1

分析 （1）作輔助線AD⊥BC，交BC的延長線于點D，然后根據在△ABC中，∠C=150°，AC=2，tanB=$\frac{1}{8}$，可以求得∠ACD的度數，從而可以得到AD、CD、BD的長，進而求得BC的長；
（2）作輔助線CE=AC，可以得到∠AEC=15°，然后求出tan∠AEC的值即可解答本題．

解答 解：（1）作AD⊥BC，交BC的延長線于點D，如右圖所示，
∵在△ABC中，∠C=150°，AC=2，tanB=$\frac{1}{8}$，AD⊥BC，
∴∠ACD=30°，∠ADC=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}AC$=1，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴BD=$\frac{AD}{tanB}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8$，
∴BC=BD-CD=8-$\sqrt{3}$；
（2）在BC上截取線段CE=AC，如右上圖所示，
∵∠C=150°，
∴∠AEC=∠EAC=15°，
∵AD⊥BC，AC=2，CE=AC，AD=1，CD=$\sqrt{3}$，
∴∠ADE=90°，EC=2，
∴ED=EC+CD=2+$\sqrt{3}$，
∴tan∠AED=$\frac{AD}{ED}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$，
即 tan15°=2-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查解直角三角形，解答此類問題的關鍵是作出合適的輔助線，然后根據銳角三角函數和勾股定理解答．