Question

16．如圖，坡上有一顆與水平面EF垂直的大樹AB，臺風過后，大樹傾斜后折斷倒在山坡上，大樹頂部B接觸到坡面上的D點．已知山坡的坡角∠AEF=30°，量得樹干傾斜角∠BAC=45°，大樹被折斷部分和坡面所成的角∠ADC=60°且AD=4米．則這棵大樹折斷前的高度AB=（2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{3}$+2）米．

Answer 1

分析 過A作AM⊥CD于M，在直角三角形ADM中，求出∠DAM=30°，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AM與MD的長，確定出三角形ACM為等腰直角三角形，求出CM，AC的長，由AC+CM+MD求出大樹高即可．

解答 解：過A作AM⊥CD于M，
則AM=ADsin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，MD=$\frac{1}{2}$AD=2．
∵∠C=∠CAM=45°，
∴CM=AM=2$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{2}$AM=2$\sqrt{6}$，
∴AB=AC+CM+MD=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{3}$+2．
∴這棵大樹折斷前高度為（2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{3}$+2）米．

點評 此題屬于解直角三角形的應用-坡度坡角問題，涉及的知識有：含30度角的直角三角形的性質，特殊角的三角函數值，等腰直角三角形的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．