Question

（2013•大連）如圖，拋物線y=-

4

5

x²+

24

5

x-4與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，拋物線的對稱軸與x軸相交于點M．P是拋物線在x軸上方的一個動點（點P、M、C不在同一條直線上）．分別過點A、B作直線CP的垂線，垂足分別為D、E，連接點MD、ME．
（1）求點A，B的坐標（直接寫出結果），并證明△MDE是等腰三角形；
（2）△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時點P的坐標；若不能，說明理由；
（3）若將“P是拋物線在x軸上方的一個動點（點P、M、C不在同一條直線上）”改為“P是拋物線在x軸下方的一個動點”，其他條件不變，△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時點P的坐標（直接寫出結果）；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）在拋物線解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得點A、點B的坐標；
如答圖1所示，作輔助線，構造全等三角形△AMF≌△BME，得到點M為為Rt△EDF斜邊EF的中點，從而得到MD=ME，問題得證；
（2）首先分析，若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點只能是點M．如答圖2所示，設直線PC與對稱軸交于點N，首先證明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，從而求得點N坐標為（3，2）；其次利用點N、點C坐標，求出直線PC的解析式；最后聯立直線PC與拋物線的解析式，求出點P的坐標．
（3）當點P是拋物線在x軸下方的一個動點時，解題思路與（2）完全相同．

解答：解：（1）拋物線解析式為y=-

4

5

x²+

24

5

x-4，令y=0，
即-

4

5

x²+

24

5

x-4=0，解得x=1或x=5，∴A（1，0），B（5，0）．
如答圖1所示，分別延長AD與EM，交于點F．

∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE，∴∠MAF=∠MBE．
在△AMF與△BME中，

∠MAF=∠MBE MA=MB ∠AMF=∠BME

，
∴△AMF≌△BME（ASA），
∴ME=MF，即點M為Rt△EDF斜邊EF的中點，
∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形．

（2）答：能．
拋物線解析式為y=-

4

5

x²+

24

5

x-4=-

4

5

（x-3）²+

16

5

，
∴對稱軸是直線x=3，M（3，0）；
令x=0，得y=-4，∴C（0，-4）．
△MDE為等腰直角三角形，有3種可能的情形：
①若DE⊥EM，
由DE⊥BE，可知點E、M、B在一條直線上，
而點B、M在x軸上，因此點E必然在x軸上，
由DE⊥BE，可知點E只能與點O重合，即直線PC與y軸重合，
不符合題意，故此種情況不存在；
②若DE⊥DM，與①同理可知，此種情況不存在；
③若EM⊥DM，如答圖2所示：

設直線PC與對稱軸交于點N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA．
在△ADM與△NEM中，

∠EMN=∠DMA EM=DM ∠ADM=∠NEM=135°

∴△ADM≌△NEM（ASA），
∴MN=MA．
拋物線解析式為y=-

4

5

x²+

24

5

x-4=-

4

5

（x-3）²+

16

5

，故對稱軸是直線x=3，
∴M（3，0），MN=MA=2，
∴N（3，2）．
設直線PC解析式為y=kx+b，∵點N（3，2），C（0，-4）在直線上，
∴

3k+b=2 b=-4

，解得k=2，b=-4，∴y=2x-4．
將y=2x-4代入拋物線解析式得：2x-4=-

4

5

x²+

24

5

x-4，
解得：x=0或x=

7

2

，
當x=0時，交點為點C；當x=

7

2

時，y=2x-4=3．
∴P（

7

2

，3）．
綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時點P坐標為（

7

2

，3）．

（3）答：能．
如答題3所示，設對稱軸與直線PC交于點N．
與（2）同理，可知若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點只能是點M．

∵MD⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB．
在△DMN與△EMB中，

∠DMN=∠EMB MD=ME ∠MDN=∠MEB=45°

，
∴△DMN≌△EMB（ASA），
∴MN=MB．
∴N（3，-2）．
設直線PC解析式為y=kx+b，∵點N（3，-2），C（0，-4）在拋物線上，
∴

3k+b=-2 b=-4

，解得k=

2

3

，b=-4，∴y=

2

3

x-4．
將y=

2

3

x-4代入拋物線解析式得：

2

3

x-4=-

4

5

x²+

24

5

x-4，
解得：x=0或x=

31

6

，
當x=0時，交點為點C；當x=

31

6

時，y=

2

3

x-4=-

5

9

．
∴P（

31

6

，-

5

9

）．
綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時點P坐標為（

31

6

，-

5

9

）．

點評：本題是二次函數綜合題型，考查了二次函數與一次函數的圖象與性質、待定系數法、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形、解方程等知識點，題目難度較大．第（2）（3）問均為存在型問題，且解題思路完全相同，可以互相借鑒印證．