Question

（2013•大連）如圖，拋物線y=x²+bx+

9

2

與y軸相交于點A，與過點A平行于x軸的直線相交于點B（點B在第一象限）．拋物線的頂點C在直線OB上，對稱軸與x軸相交于點D．平移拋物線，使其經過點A、D，則平移后的拋物線的解析式為

y=x²-

9

2

x+

9

2

．

Answer 1

分析：先求出點A的坐標，再根據拋物線的對稱性可得頂點C的縱坐標，然后利用頂點坐標公式列式求出b的值，再求出點D的坐標，根據平移的性質設平移后的拋物線的解析式為y=x²+mx+n，把點A、D的坐標代入進行計算即可得解．

解答：解：∵令x=0，則y=

9

2

，
∴點A（0，

9

2

），
根據題意，點A、B關于對稱軸對稱，
∴頂點C的縱坐標為

1

2

×

9

2

=

9

4

，
即

4×1× 9 2 -b2

4×1

=

9

4

，
解得b₁=3，b₂=-3，
由圖可知，-

b

2×1

＞0，
∴b＜0，
∴b=-3，
∴對稱軸為直線x=-

-3

2×1

=

3

2

，
∴點D的坐標為（

3

2

，0），
設平移后的拋物線的解析式為y=x²+mx+n，
則

n= 9 2 9 4 + 3 2 m+n=0

，
解得

m=- 9 2 n= 9 2

，
所以，y=x²-

9

2

x+

9

2

．
故答案為：y=x²-

9

2

x+

9

2

．

點評：本題考查了二次函數圖象與幾何變換，根據二次函數圖象的對稱性確定出頂點C的縱坐標是解題的關鍵，根據平移變換不改變圖形的形狀與大小確定二次項系數不變也很重要．