Question

【題目】問題提出：

有n個環環相扣的圓環形成一串線型鏈條，當只斷開其中的k（k＜n）個環，要求第一次取走一個環，以后每次都只能比前一次多得一個環，則最多能得到的環數n是多少呢？

問題探究：

為了找出n與k之間的關系，我們運用一般問題特殊化的方法，從特殊到一般，歸納出解決問題的方法.

探究一：k=1，即斷開鏈條其中的1個環，最多能得到幾個環呢？

當n=1,2,3時，斷開任何一個環，都能滿足要求，分次取走；

當n=4時，斷開第二個環，如圖①，第一次取走1環；第二次退回1環換取2環，得2個環；第三次再取回1環，得3個環；第四次再取另1環，得4個環，按要求分4次取走．

當n=5，6，7時，如圖②，圖③，圖④方式斷開，可以用類似上面的方法，按要求分5,6,7次取走．

當n=8時，如圖⑤，無論斷開哪個環，都不可能按要求分次取走．

所以，當斷開1個環時，從得到更多環數的角度考慮，把鏈條分成3部分，分別是1環、2環和4環，最多能得到7個環．

即當k=1時，最多能得到的環數n=1+2+4=1+2×3=1+2×（22-1）=7.

探究二：k=2，即斷開鏈條其中的2個環，最多能得到幾個環呢？

從得到更多環數的角度考慮，按圖⑥方式斷開，把鏈條分成5部分，按照類似探究一的方法，按要求分1,2，…23次取走．

所以，當斷開2個環時，把鏈條分成5部分，分別是1環、1環、3環、6環、12環，最多能得到23個環．

即當k=2時，最多能得到的環數n=1+1+3+6+12=2+3×7=2+3×（23-1）=23.

探究三：k=3，即斷開鏈條其中的3個環，最多能得到幾個環呢？

從得到更多環數的角度考慮，按圖⑦方式斷開，把鏈條分成7部分，按照類似前面探究的方法，按要求分1,2，…63次取走．

所以，當斷開3個環時，從得到更多環數的角度考慮，把鏈條分成7部分，分別是1環、1環、1環、4環、8環、16環、32環，最多能得到63個環．

即當k=3時，最多能得到的環數n=1+1+1+4+8+16+32=3+4×15=3+4×（24-1）=63.

探究四：k=4，即斷開鏈條其中的4個環，最多能得到幾個環呢？

按照類似前面探究的方法，當斷開4個環時，從得到更多環數的角度考慮，把鏈條分成 部分，分別為 ，最多能得到的環數n= ．請畫出如圖⑥的示意圖．

模型建立：

有n個環環相扣的圓環形成一串線型鏈條，斷開其中的k（k＜n）個環，從得到更多環數的角度考慮，把鏈條分成 部分，

分別是：1、1、1……1、k+1、 、……、 ，最多能得到的環數n = ．

實際應用：

一天一位財主對雇工說：“你給我做兩年的工，我每天付給你一個銀環．不過，我用一串環環相扣的線型銀鏈付你工錢，但你最多只能斷開銀鏈中的6個環．如果你無法做到每天取走一個環，那么你就得不到這兩年的工錢，如果銀鏈還有剩余，全部歸你！你愿意嗎？”

聰明的你是否可以運用本題的方法通過計算幫助雇工解決這個難題，雇工最多能得到總環數為多少環的銀鏈？

Answer 1

【答案】探究四：詳見解析；模型建立：詳見解析；實際應用：雇工最多能得到總環數為895環的銀鏈

【解析】

探究四：根據題意畫出圖形分析，由此得出答案;

模型建立：由前面當n=1,2,3,4分析可得，從而得出其中的規律;

實際應用：當k＝6代入n = k+(k+1)×（2k+1-1）計算即可.

探究四：k=4，即斷開鏈條其中的4個環，最多能得到幾個環呢？

按照類似前面探究的方法，當斷開4個環時，從得到更多環數的角度考慮，把鏈條分成 九 部分，分別為 1,1,1,1,5,10,20,40,80 ，最多能得到的環數n= 1+1+1+1+5+10+20+40+80=4+5×（25-1）=159 ．

示意圖．

模型建立：有n個環環相扣的圓環形成一串線型鏈條，斷開其中的k（k＜n）個環，從得到更多環數的角度考慮，把鏈條分成 2k+1 部分，

分別是：1、1、1……1、k+1、 2(k+1) 、……、 2k(k+1) ，最多能得到的環數n = k+(k+1)×（2k+1-1） 個.

實際應用：

6+7×（27-1）=895.

因為895大于兩年的天數,

所以愿意.

答：雇工最多能得到總環數為895環的銀鏈.