Question

（2013•南京）已知二次函數y=a（x-m）²-a（x-m）（a，m為常數，且a≠0）．
（1）求證：不論a與m為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個公共點；
（2）設該函數的圖象的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點D．
①當△ABC的面積等于1時，求a的值；
②當△ABC的面積與△ABD的面積相等時，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把（x-m）看作一個整體，令y=0，利用根的判別式進行判斷即可；
（2）①令y=0，利用因式分解法解方程求出點A、B的坐標，然后求出AB，再把拋物線轉化為頂點式形式求出頂點坐標，再利用三角形的面積公式列式進行計算即可得解；
②令x=0求出點D的坐標，然后利用三角形的面積列式計算即可得解．

解答：（1）證明：令y=0，a（x-m）²-a（x-m）=0，
△=（-a）²-4a×0=a²，
∵a≠0，
∴a²＞0，
∴不論a與m為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個公共點；

（2）解：①y=0，則a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）=0，
解得x₁=m，x₂=m+1，
∴AB=（m+1）-m=1，
y=a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m-

1

2

）²-

a

4

，
△ABC的面積=

1

2

×1×|

a

4

|=1，
解得a=±8；

②x=0時，y=a（0-m）²-a（0-m）=am²+am，
所以，點D的坐標為（0，am²+am），
△ABD的面積=

1

2

×1×|am²+am|，
∵△ABC的面積與△ABD的面積相等，
∴

1

2

×1×|am²+am|=

1

2

×1×|

a

4

|，
整理得，m²+m-

1

4

=0或m²+m+

1

4

=0，
解得m=

-1± 2

2

或m=-

1

2

．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要利用了根的判別式，三角形的面積，把（x-m）看作一個整體求解更加簡便．