Question

（2013•南京二模）在?ABCD中，AD=6，∠ABC=60°，點E在邊BC上，過點E作直線EF⊥AB，垂足為點F，EF與DC的延長線相交于點H．
（1）如圖1，已知點E是BC的中點，求證：以E為圓心、EF為半徑的圓與直線CD相切；
（2）如圖2，已知點E不是BC的中點，連接BH、CF，求梯形BHCF的面積．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的性質得出EH⊥CH，進而得出△BEF≌△CEH，EH=EF，即可得出答案；
（2）首先利用銳角三角函數關系求出梯形的高，進而利用梯形面積公式求出．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵∠EFB=90°，
∴∠EHC=90°，
∴EH⊥CH．
∵點E是BC的中點，
∴EB=EC．
∵在△BEF和△CEH中

∠BFE=∠CHE ∠FEB=∠CEH BE=EC

∴△BEF≌△CEH（AAS），
∴EH=EF，
∴EH是⊙E的半徑．
∵直線CD過⊙E半徑EH的外端點H，
∴直線CD與⊙E相切．

（2）解：由平行四邊形的性質得出AD=BC=6，
∵∠ABC=60°，EF⊥AB，
∴∠CEH=∠FEB=30°，
∴EH=EC×cos30°，EF=BE×cos30°，
∴FH=EC×cos30°+BE×cos30°=6×

3

2

=3

3

，
設CH=x，則CE=2x，BE=6-2x，BF=3-x，
S_梯形BHCF=

1

2

×（CH+BF）×3

3

=

1

2

×（x+3-x）×3

3

=

9

2

3

．

點評：此題主要考查了切線的判定以及梯形的面積公式和全等三角形的判定與性質，根據已知得出梯形的高是解題關鍵．