Question

（2005•衢州）已知，△ABC中，∠B=90°，∠BAD=∠ACB，AB=2，BD=1，過點D作DM⊥AD交AC于點M，DM的延長線與過點C的垂線交于點P．
（1）求sin∠ACB的值；
（2）求MC的長；
（3）若點Q以每秒1個單位的速度由點C向點P運動，是否存在某一時刻t，使四邊形ADQP的面積等于四邊形ABCQ的面積；若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AB=2，BD=1，∠B=90°，根據勾股定理得到AD的長，根據∠BAD=∠ACB得到sin∠ACB=sin∠BAD，在Rt△ABD中，根據三角函數的定義就可以求出sin∠ACB的值．
（2）設MC=x，則DM=x，AM=AC-MC=2-x，在Rt△ADM中，由勾股定理就可以求出CM的長．
（3）根據四邊形ADQP的面積等于四邊形ABCQ的面積，就可以求出t的值．
解答：解：（1）在Rt△ABD中，根據勾股定理得到AD=，
sin∠ACB=sin∠BAD==．

（2）∵∠ADP=90°，
∴∠4+∠3=90°
又∵直角△ABD中，∠1+∠4=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴MD=MC，
設MC=x，則DM=x，AM=AC-MC=2-x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得x=，
∴CM=．
（3）連接AP、AQ、DQ，
∵直角△CDP中，DM=CM=，
則DP=2DM=，
∴CP===，
∵四邊形ADQP的面積等于四邊形ABCQ的面積，
∴S_△APQ=S_△ABD+S_△CDQ，
即（-t）×4=×2×1+×3t
解得：t=，
∴當點Q從點c向點P運動秒時，存在四邊形ADQP的面積等于四邊形ABCQ的面積．
點評：本題主要考查了勾股定理，存在性問題是近年中考的熱點之一．