Question

如圖，在直角坐標系中，已知點P0的坐標為（1，0），進行如下操作:將線段OPo按逆時針方向旋轉，再將其長度伸長為OP0的2倍，得到線段OP1 ；又將線段OP1按逆時針方向旋轉，長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2，如此重復操作下去，得到線段OP3，OP4，， 則

（1）點P5的坐標為

（2）落在x軸正半軸上的點Pn坐標是 ，（ n是8的整數倍.）

Answer 1

（1）（-16，-16）；（2）（2n，0）.

【解析】

試題分析：（1）由于點P0的坐標為（1，0），將線段OP0按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP0的2倍，得到線段OP1=2，那么P1的坐標為（，），又將線段OP1按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2=4，那么P2的坐標為（0，4），由此類推P3的坐標為（-4，4），P4的坐標為（16，0），P5的坐標為（-16，-16）；

（2）如果通過旋轉最后落在x軸正半軸上，由于每次旋轉45°，所以可以求出需要360°÷45°=8次才能落在x軸正半軸上，并且每旋轉一次OP擴大一倍，那么旋轉到點Pn的坐標可以求出了．

試題解析：（1）∵點P0的坐標為（1，0），

而將線段OP0按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP0的2倍，

∴線段OP1=2，

∴P1的坐標為（，），

又將線段OP1按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP1的2倍，

∴線段OP2=4，

∴P2的坐標為（0，4），

由此類推P3的坐標為（-4，4），P4的坐標為（16，0），P5的坐標為（-16，-16）；

（2）∵通過旋轉最后落在x軸正半軸上，而每次旋轉45°，

∴需要旋轉360°÷45°=8次才能落在x軸正半軸上，

并且每旋轉一次OP擴大一倍，

∴OPn=2n，

∴旋轉到點Pn的坐標為（2n，0），其中n滿足的條件是n=8k（k=0，1，2…的整數）．

考點：坐標與圖形變化-旋轉．