Question

（本題10分）已知：如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E．CM⊥AE,垂足是F, 交AD于N,交AB于M,連接ME。

（1）求證：ME⊥BC；

（2）若AB=，試求ME的長。

Answer 1

（2）1

【解析】

試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；

（2）根據等腰三角形的性質可以得到要相等，在根據勾股定理得到斜邊的長，然后根據等腰三角形的性質得出CE的長，從而求出BE,最終根據等腰三角形的性質求出結果.

試題解析：（1）∵AE平分∠BAD

∴∠BAE=∠EAD

又∵∠BAC=90°,AD⊥BC

∴∠EAC=90°-∠BAE; ∠AED=90°-∠EAD

∴∠EAC=∠AED

∴AC=EC

∵CM⊥AE

∴∠ACM=∠ECM 又CM=CM

∴△ACM≌△ECM（SAS）

∴∠MEC=∠MAC=90°

即 ME⊥BC

（2）在Rt△ABC中,AB=AC=

∴BC=

又CE=AC=

∴BE=BC-CE=（）-（）=1

∵ME⊥BC, ∠B=45°

∴∠BME=∠B

∴ME=BE=1

考點：等腰三角形的性質與判定，勾股定理，三角形全等的判定與性質