Question

某商店準備進一批季節性小家電，單價40元．經市場預測，銷售定價為52元時，每天可售出180個；定價每增加1元，銷售量將減少10個．
（1）如果銷售定價為52元時，那么該商店每天獲利多少元？
（2）商店若準備每天獲利2000元，則每天銷售多少個？定價為多少元？
（3）為了獲得更多的利潤，商店的經理提出獎勵方案：如果每天獲利超過2500元（包括2500元），那么每天所獲得的利潤的10%用于獎勵商店的員工．你認為該商店的員工能獲得獎金嗎？如果能獲得獎金，請計算獎金是多少；如果不能獲得獎金，請說明原因．

Answer 1

【答案】分析：（1）商店每天的獲利=（銷售價格-成本）×銷售數量；
（2）設出定價與52元的差價，進而利用差價表示出銷售數量，列出差價與獲利的函數關系式，即獲利=（52元+差價-40元）×（180-10×差價），將已知獲利代入解出答案；
（3）根據（2）中已經得出的函數關系式，求的函數在自變量范圍內的最大值，與2500元進行比較，從而判斷商店的員工能否獲得獎金．
解答：解：（1）（52-40）×180=12×180=2160（元）（3分）
答：如果銷售定價為52元時，那么該商店每天獲利2160元．（4分）

（2）設定價為（52+x）元，
則每銷售一個獲利（52+x-40）元，共銷售
（180-10x）個，根據題意，得：
（52+x-40）（180-10x）=2000（6分）
整理，得：x²-6x-16=0
解得：x₁=-2或x₂=8（7分）
經檢驗：x₁=-2、x₂=8都是原方程的解，并且都符合題意．
當x=-2時，52+x=52+（-2）=50（元），180-10x=180-10×（-2）=200（個）
當x=8時，52+x=52+8=60（元），180-10x=180-10×8=100（個）
答：每天銷售200個？定價為50元；或每天銷售100個？定價為60元．（8分）

（3）①．商店的員工不能獲得獎金（10分）
②解法（一）：
設定價為（52+x）元，則每銷售一個獲利（52+x-40）元，共銷售
（180-10x）個，根據題意，得：
（52+x-40）（180-10x）=2500（11分）
整理，得：x²-6x+34=0（x-3）²=-25（12分）
∴原方程無解
即商店每天獲利不超過2500元（包括2500元），
∴商店的員工不能獲得獎金．（13分）
解法（二）：
設定價為（52+x）元，則每銷售一個獲利（52+x-40）元，共銷售
（180-10x）個，根據題意，得：
（52+x-40）（180-10x）（11分）
=-10x²+60x+2160
=-10（x²-6x）+2160
=-10（x-3）²+2250（12分）
∴當x=3，即定價為52+x=52+3=55（元）時，商店每天獲得最大利潤，最大利潤為2250元．
∴每天所獲得的利潤少于2500元，不符合獎勵方案，故商店的員工不能獲得獎金．（13分）
點評：本題考查二次函數的實際應用；具體考查了二次函數解析式的求法以及二次函數最值的求法．