Question

19．閱讀材料：
如果一個矩形的寬與長的比值恰好為黃金比，人們就稱它為“黃金矩形”（Golden Rectangle）．在很多藝術品以及大自然中都能找到它，希臘雅典的巴特農神廟、法國巴黎圣母院就是很好的例子．
小明想畫出一個黃金矩形，經過思考，他決定先畫一個邊長為2的正方形ABCD，如圖1，取CD邊的中點E，連接BE，在BE上截取EF=EC，在BC上截取BG=BF；然后，小明作了兩條互相垂直的射線，如圖2，OF⊥OG于點O．小明利用圖1中的線段，在圖2中作出一個黃金矩形OMPN，且點M在射線OF上，點N在射線OG上．
請你幫助小明在圖1中完成作圖，要求尺規作圖，保留作圖痕跡．
（1）求CG的長；
（2）圖1中哪兩條線段的比是黃金比？請你指出其中一組線段；
（3）請你利用（2）中的結論，在圖2中作出一個黃金矩形OMPN，且點M在射線OF上，點N在射線OG上．要求尺規作圖，保留作圖痕跡．

Answer 1

分析 利用題目提示直接畫出圖形，
（1）先利用勾股定理求出BE，再用作圖即可求出CG，
（2）求出CG：BG，即可得出結論，判斷出結論；
（3）借助小明的作出的線段，再借助線段的長度，即可作出圖形．

解答 解：補全小明的圖形如圖1所示，
（1）∵正方形的邊長為2，
∴BC=CD=2，
∵點E是CD中點，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=1，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由作圖知，EF=CE=1，
∴BF=BE-EF=$\sqrt{5}$-1，
由作圖知，BG=BF=$\sqrt{5}$-1，
∴CG=BC-BG=3-$\sqrt{5}$，
（2）由（1）知，BG=$\sqrt{5}$-1，CG=3-$\sqrt{5}$，
∴$\frac{CG}{BG}=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5-1}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴CG，BG的比是黃金比；
（3）如圖2所示，

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了基本作圖，勾股定理，線段的比，解本題的關鍵是掌握幾種基本作圖，是一道比較簡單的綜合題．