Question

14．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x²+mx+n與x軸交于點A，B（A在B的左側）．
（1）拋物線的對稱軸為直線x=-3，AB=4．求拋物線的表達式；
（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經過點O，且與x正半軸交于點C，記平移后的拋物線頂點為P，若△OCP是等腰直角三角形，求點P的坐標；
（3）當m=4時，拋物線上有兩點M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂），若x₁＜2，x₂＞2，x₁+x₂＞4，試判斷y₁與y₂的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據拋物線和x軸的交點及線段的長，求出拋物線的解析式；
（2）根據平移后拋物線的特點設出拋物線的解析式，再利用等腰直角三角形的性質求出拋物線解析式；
（3）根據拋物線的解析式判斷出點M，N的大概位置，再關鍵點M，N的橫坐標的范圍即可得出結論．

解答 解：（1）拋物線 y=-x²+mx+n的對稱軸為直線x=-3，AB=4．
∴點 A（-5，0），點B（-1，0）．
∴拋物線的表達式為y=-（x+5）（ x+1）
∴y=-x²-6x-5．
（2）如圖1，
依題意，設平移后的拋物線表達式為：y=-x²+bx．
∴拋物線的對稱軸為直線$x=\frac{b}{2}$，拋物線與x正半軸交于點C（b，0）．
∴b＞0．
記平移后的拋物線頂點為P，
∴點P的坐標（$\frac{b}{2}$，-$\frac{{b}^{2}}{4}$+$\frac{{b}^{2}}{2}$），
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴$\frac{b}{2}$=-$\frac{{b}^{2}}{4}+\frac{{b}^{2}}{2}$
∴b=2．
∴點P的坐標（1，1）．
（3）如圖2，
當m=4時，拋物線表達式為：y=-x²+4x+n．
∴拋物線的對稱軸為直線 x=2．
∵點M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）在拋物線上，
且x₁＜2，x₂＞2，
∴點M在直線x=2的左側，點N在直線x=2的右側．
∵x₁+x₂＞4，
∴2-x₁＜x₂-2，
∴點P到直線x=2的距離比
點M到直線x=2的距離比點N到直線x=2的距離近，
∴y₁＞y₂．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了拋物線的性質，待定系數法，平移的性質，頂點坐標的確定，函數值大小的確定，解本題的關鍵是熟練掌握拋物線的性質，是一道中等難度的中考常考題．