Question

18．如圖，直線y₁=x+2與雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$交于A（a，4），B（m，n）．
（1）求k值和點B的坐標；
（2）求△AOB的面積；
（3）當y₁＞y₂時請直接寫出x的取值范圍；
（4）P為x軸上任意一點，當△ABP為直角三角形時，直接寫出P點坐標．

Answer 1

分析 （1）由點A在直線上可求出a，從而得出點A的坐標，由點A的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出k值；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線的解析式成方程組，解方程組即可求出點B的坐標；
（3）根據函數圖象的上下位置關系結合交點坐標即可得出結論；
（4）設點P的坐標為（m，0），由兩點間的距離公式求出AP、AB、BP，分AP、AB、BP為斜邊來考慮，根據勾股定理得出關于m的方，解方程即可得出結論．

解答 解：（1）∵點A（a，4）在直線y₁=x+2上，
∴4=a+2，解得：a=2，
∴點A（2，4）．
∵點A（2，4）在雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2×4=8．
（2）聯(lián)立直線與雙曲線解析式成方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴點B（-4，-2）．
（3）觀察函數圖象，發(fā)現：
當-4＜x＜0或x＞2時，直線在雙曲線的上方，
∴當y₁＞y₂時x的取值范圍為-4＜x＜0或x＞2．
（4）設點P的坐標為（m，0），
則AB=$\sqrt{（-4-2）^{2}+（-2-4）^{2}}$=6$\sqrt{2}$，AP=$\sqrt{（m-2）^{2}+（0-4）^{2}}$，BP=$\sqrt{（-4-m）^{2}+（-2-0）^{2}}$，
△ABP為直角三角形分三種情況：

①AB為斜邊時（圖1），有AB²=AP²+BP²，即72=（m-2）²+16+（m+4）²+4，
解得：m₁=-1-$\sqrt{17}$，m₂=-1+$\sqrt{17}$，
此時點P坐標為（-1-$\sqrt{17}$，0）或（-1+$\sqrt{17}$，0）；
②AP為斜邊時（圖2），有AP²=AB²+BP²，即（m-2）²+16=72+（m+4）²+4，
解得：m₃=-6，
此時點P坐標為（-6，0）；
③BP為斜邊時（圖3），有BP²=AB²+AP²，即（m+4）²+4=72+（m-2）²+16，
解得：m₄=6，
此時點P坐標為（6，0）．
綜上可知：當△ABP為直角三角形時，P點坐標為（-1-$\sqrt{17}$，0）、（-1+$\sqrt{17}$，0）、（-6，0）或（6，0）．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數交點的問題、反比例函數圖象上點的坐標特征以及勾股定理，解題的關鍵是：（1）求出點A的坐標；（2）聯(lián)立兩函數解析式成方程組；（3）根據函數圖象的上下位置關系解不等式；（4）分三種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程較繁瑣，該題的難點是分類討論，根據直角三角形的斜邊不同，分別根據勾股定理找出關于m的方程是關鍵．