Question

如圖所示，P是⊙O外一點，PA是⊙O的切線，A是切點，B是⊙O 上一點，且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點Q．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）求證：AQ•PQ=OQ•BQ；

（3）設∠AOQ=α，若cosα= ，OQ=15，求AB的長．

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）證明：連接OP，與AB交與點C．

∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，

∴△OAP≌△OBP（SSS），

∴∠OBP=∠OAP，

∵PA是⊙O的切線，A是切點，

∴∠OAP=90°，

∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切線；

 

（2）∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，

∴△QAO∽△QBP，

∴ ，即AQ•PQ=OQ•BQ；

 

（3）在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=，

∴OA=12，AQ=9，

∴QB=27；

∵ = ，

∴PQ=45，即PA=36，

∴OP=；

∵PA、PB是⊙O的切線，

∴OP⊥AB，AC=BC，

∴PA•OA=OP•AC，即36×12=•AC，

∴AC=，故AB=．

 

解析:略