Question

如圖所示，P是⊙O外一點，PA是⊙O的切線，A是切點，B是⊙O 上一點，且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點Q．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）求證：AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）設∠AOQ=α，若cosα=

4

5

，OQ=15，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）連接OP，與AB交于點C．欲證明PB是⊙O的切線，只需證明∠OBP=90°即可；
（2）根據相似三角形的判定定理AA證明△QAO∽△QBP，然后由相似三角形的對應邊成比例求得

AQ

BQ

=

OQ

PQ

，即AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）在Rt△OAQ中根據勾股定理和三角函數的余弦值的定義解得QB=27，利用（1）的結論求得PQ=45，即PA=36，又由勾股定理知OP=12

10

；然后由切線的性質求AB的長．

解答：（1）證明：連接OP，與AB交于點C．
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA是⊙O的切線，A是切點，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切線；

（2）證明：∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，
∴△QAO∽△QBP，
∴

AQ

BQ

=

OQ

PQ

，即AQ•PQ=OQ•BQ；

（3）連OP并交AB于點C，
在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=

4

5

，
∴OA=12，AQ=9，
∴QB=27；
∵

AQ

BQ

=

OQ

PQ

，
∴PQ=45，即PA=36，
∴OP=12

10

；
∵∠APO=∠APO，∠PAO=∠PCA=90°
∴△PAC∽△POA，
∴

PA

PO

=

AC

AO

，
∴PA•OA=OP•AC，即36×12=12

10

•AC，
∴AC=

18

5

10

，故AB=

36

5

10

．

點評：本題綜合考查了切線的判定與性質、相似三角形與全等三角形的判定與性質、解直角三角形以及勾股定理．圖形中的線段的求法，可以通過特殊角的三角函數值、切線的有關知識及勾股定理求解．