Question

如圖所示，P是⊙O外一點，PA是⊙O的切線，A是切點，B是⊙O 上一點，且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點Q．

（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）求證：AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）設∠AOQ=α，若cosα= ，OQ=15，求AB的長．
[來源:學科網ZXXK]

Answer 1

解：（1）證明：連接OP，與AB交與點C．

∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA是⊙O的切線，A是切點，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切線；
（2）∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，
∴△QAO∽△QBP，[來源:學+科+網Z+X+X+K]
∴，即AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=，
∴OA=12，AQ=9，
∴QB=27；
∵= ，
∴PQ=45，即PA=36，
∴OP=；
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴OP⊥AB，AC=BC，
∴PA•OA=OP•AC，即36×12=•AC，
∴AC=，故AB=．

解析