Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，點A (-4,-2)，將點A向右平移6個單位長度，得到點B.

（1）若拋物線y＝-x2＋bx＋c經過點A,B，求此時拋物線的表達式；

（2）在（1）的條件下的拋物線頂點為C，點D是直線BC上一動點（不與B，C重合），是否存在點D，使△ABC和以點A,B,D構成的三角形相似？若存在，請求出此時D的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若拋物線y＝-x2＋bx＋c的頂點在直線y＝x＋2上移動，當拋物線與線段有且只有一個公共點時，求拋物線頂點橫坐標t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝-x2-2x＋6；（2）存在，D (,)；（3）-4≤t＜-3或0＜t≤5．

【解析】

（1）根據點A的坐標結合線段AB的長度，可得出點B的坐標，根據點A，B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的表達式；

（2）由拋物線解析式，求出頂點C的坐標，從而求出直線BC解析式，設D (d,-3d+4)，

根據已知可知AD=AB=6時，△ABC∽△BAD，從而列出關于d的方程，解方程即可求解；

（3）將拋物線的表達式變形為頂點時，依此代入點A，B的坐標求出t的值，再結合圖形即可得出：當拋物線與線段AB有且只有一個公共點時t的取值范圍．

（1）∵點A的坐標為（-4，-2），將點A向右平移6個單位長度得到點B，

∴點B的坐標為（2，-2）．

∵拋物線y＝-x2+bx＋c過點，

∴, 解得

∴拋物線表達式為y＝-x2-2x＋6

（2）存在.

如圖

由（1）得，y＝-x2-2x＋6＝-(x+1)2＋7，

∴C (-1,7)

設直線BC解析式為y＝kx＋b

∴解之得，

∴lBC：y＝-3x＋4

設D (d,-3d+4)，

∵在△ABC中AC=BC

∴當且僅當AD=AB=6時，兩三角形相似

即(-4-d)2+(-2+3d-4)2=36時，△ABC∽△BAD，

解之得，d1=、d2=2(舍去)

∴存在點D，使△ABC和以點A,B,D構成的三角形相似，此時點D (,)；

（3）如圖：

拋物線y＝-x2+bx＋c頂點在直線上

∴拋物線頂點坐標為

∴拋物線表達式可化為．

把代入表達式可得

解得．

又∵拋物線與線段AB有且只有一個公共點，

∴-4≤t＜-3．

把代入表達式可得．

解得，

又∵拋物線與線段AB有且只有一個公共點，

∴0＜t≤5．

綜上可知的取值范圍時-4≤t＜-3或0＜t≤5．