Question

（2005•菏澤）如圖1，A為⊙O的弦EF上的一點，OB是和這條弦垂直的半徑，垂足為H，BA的延長線交⊙O于點C，過點C作⊙O的切線與EF的延長線相交于點D．
（1）求證：DA=DC；
（2）當DF：EF=1：8，且DF=時，求AB•AC的值；
（3）將圖1中的EF所在直線往上平行移動到⊙O外，如圖2的位置，使EF與OB，延長線垂直，垂足為H，A為EF上異于H的一點，且AH小于⊙O的半徑，AB的延長線交⊙O于C，過C作⊙O的切線交EF于D．試猜想DA=DC是否仍然成立？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接過切點的半徑OC，根據等角的余角相等進行證明∠ACD=∠DAC，從而得到AD=CD；
（2）根據已知條件求得DF的長，再根據切割線定理求得CD的長．從而求得DF和EF的長，最后根據相交弦定理即可求得它們的乘積；
（3）作直徑，構造了直接三角形，也構造了弦切角所夾的弧所對的圓周角．根據等角的余角相等證明∠DAC=∠ACD，從而證明結論．
解答：（1）證明：連接OC，則OC⊥DC，（1分）
∴∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B．
∵∠DAC=∠BAE=90°-∠B，
∴∠DAC=∠DCA．
∴DA=DC．

（2）解：∵DF：EF=1：8，
∵DF=，
∴EF=8DF=8．
∵DC為⊙O的切線，
∴DC²=DF•DE=×9=18．
∵DC=3，
∴AF=2，AE=6．
∴AB•AC=AE•AF=24．

（3）解：結論DA=DC仍然成立．
理由如下：延長BO交⊙O于K，連接CK，則∠KCB=90°；
∵DC為⊙O的切線，
∴∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK．
∵∠CBK=∠HBA，
∴∠BAH=90°-∠HBA=90°-∠CBK．
∴∠DCA=∠BAH．
∴DA=DC．
點評：綜合運用了切線的性質定理、圓周角定理的推論、切割線定理和相交弦定理進行求解證明．