Question

16．等邊三角形的邊長為6，則它的外接圓的半徑為2$\sqrt{3}$；直角三角形的兩直角邊分別為6、8，則它的外接圓的半徑為5；等腰三角形的腰長為5，底邊長為6，則它的外接圓的半徑為$\frac{25}{4}$；等腰三角形的腰長為5，底邊長為8，則它的外接圓的半徑為$\frac{25}{6}$．

Answer 1

分析 ①，△ABC是等邊三角形，E的外心，根據BE=BD÷cos30°=2$\sqrt{3}$，即可解決問題．
②根據勾股定理，得斜邊是10，再根據其外接圓的半徑是斜邊的一半，得出其外接圓的半徑．
③如圖，⊙O為等腰三角形ABC的外接圓，在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，推出AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，在Rt△OBD中，OD=AD-OA=4-r，OB=r，
由OD²+BD²=OB²，可得（4-r）²+3²=r²，解方程即可．
④方法類似③

解答 解：①如圖，△ABC是等邊三角形，E的外心，
∵AB=BC=6，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴∠EBD=30°，
∴BE=BD÷cos30°=2$\sqrt{3}$，
②∵直角邊長分別為6cm和8cm，
∴斜邊是10，
∴這個直角三角形的外接圓的半徑為5cm．
③解：如圖，⊙O為等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC=5，BC=6，
作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AD垂直平分BC，
∴點O在AD上，
連結OB，設⊙O的半徑為r，
在Rt△ABD中，∵AB=5，BD=3，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
在Rt△OBD中，OD=AD-OA=4-r，OB=r，
∵OD²+BD²=OB²，
∴（4-r）²+3²=r²，解得r=$\frac{25}{8}$，
即它的外接圓半徑等于$\frac{25}{8}$．
④同理可得三角形的外接圓半徑為$\frac{25}{6}$，
故答案分別為2$\sqrt{3}$，5，$\frac{25}{8}$，$\frac{25}{6}$．

點評 本題考查了三角形的外接圓與外心：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了垂徑定理、勾股定理和等腰三角形的性質．