Question

2．（1）已知a=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，求$\frac{1-2a+{a}^{2}}{a-1}$-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-2a+1}}{{a}^{2}-a}$的值．
（2）計算：（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{1{0}^{2}}$）．
（3）$\frac{（{2}^{4}+\frac{1}{4}）（{4}^{4}+\frac{1}{4}）（{6}^{4}+\frac{1}{4}）（{8}^{4}+\frac{1}{4}）（1{0}^{4}+\frac{1}{4}）}{（{1}^{4}+\frac{1}{4}）（{3}^{4}+\frac{1}{4}）（{5}^{4}+\frac{1}{4}）（{7}^{4}+\frac{1}{4}）（{9}^{4}+\frac{1}{4}）}$．

Answer 1

分析 （1）首先化簡a=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$，進一步化簡代數式，代入求得答案即可；
（2）利用平方差公式分解因式，進一步計算交錯約分得出答案即可；
（3）把每一項通分，進一步分解因式，交錯約分得出答案即可．

解答 解：（1）∵a=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1-2a+{a}^{2}}{a-1}$-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-2a+1}}{{a}^{2}-a}$
=$\frac{（a-1）^{2}}{a-1}-\frac{\sqrt{（a-1）^{2}}}{a（a-1）}$
=a-1-$\frac{1-a}{a（a-1）}$
=a-1+$\frac{1}{a}$
=2-$\sqrt{3}-1+\frac{1}{2-\sqrt{3}}$
=2-$\sqrt{3}-1+2+\sqrt{3}$
=3；
（2）（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{1{0}^{2}}$）
=（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）（1+$\frac{1}{4}$）…（1-$\frac{1}{10}$）（1+$\frac{1}{10}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{9}{10}$×$\frac{11}{10}$
=$\frac{11}{20}$；
（3）∵4x⁴+1=4x⁴+4x²+1-4x²=（2x²+1）²-（2x）²=（2x²+1+2x）（2x²+1-2x）=[（x+1）²+x²][（x-1）²+x²]，
∴$\frac{（{2}^{4}+\frac{1}{4}）（{4}^{4}+\frac{1}{4}）（{6}^{4}+\frac{1}{4}）（{8}^{4}+\frac{1}{4}）（1{0}^{4}+\frac{1}{4}）}{（{1}^{4}+\frac{1}{4}）（{3}^{4}+\frac{1}{4}）（{5}^{4}+\frac{1}{4}）（{7}^{4}+\frac{1}{4}）（{9}^{4}+\frac{1}{4}）}$
=$\frac{\frac{4×{2}^{4}+1}{4}×\frac{4×{4}^{4}+1}{4}…\frac{4×1{0}^{4}+1}{4}}{\frac{4×{1}^{4}+1}{4}×\frac{4×{3}^{4}+1}{4}…\frac{4×{9}^{4}+1}{4}}$
=$\frac{（4×{2}^{4}+1）（4×{4}^{4}+1）…（4×1{0}^{4}+1）}{（4×{1}^{4}+1）（4×{3}^{4}+1）…（4×{9}^{4}+1）}$
=$\frac{（{1}^{2}+{2}^{2}）（{2}^{2}+{3}^{2}）（{3}^{2}+{4}^{2}）（{4}^{2}+{5}^{2}）…（1{0}^{2}+1{1}^{2}）}{（{0}^{2}+{1}^{2}）（{1}^{2}+{2}^{2}）（{2}^{2}+{3}^{2}）（{3}^{2}+{4}^{2}）…（{9}^{2}+1{0}^{2}）}$
=$\frac{1{0}^{2}+1{1}^{2}}{{0}^{2}+{1}^{2}}$
=100+121
=221．

點評 此題考查二次根式的化簡求值，因式分解的實際運用，掌握因式分解的方法是解決問題的關鍵．