Question

函數f（x）=x²+mx+m（a，b∈R）的定義域為[-1，1]，且|f（x）|的最大值為M．
（1）證明：|1+m|≤M；
（2）求M的最小值，并求出當M取最小值時函數f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據f（x）=x²+mx+m（a，b∈R）的定義域為[-1，1]，且|f（x）|的最大值為M，得出|f（-1）|=|1-m+m|≤M，|f（1）|=|1+m+m|≤M，進而得出|2+2m|≤2M，即可得出答案；
（2）利用f（0）=m，|f（0）|=|m|≤M，即可得出|（1+m）-m|≤|1+m|+|m|≤2M，再利用M取最小值求出函數f（x）的解析式．
解答：解：（1）證明：由已知：|f（-1）|=|1-m+m|≤M，|f（1）|=|1+m+m|≤M，
由公式：|（1-m+m）+（1+m+m）|≤|1-m+m|+|1+m+m|，
所以|2+2m|≤2M，
|1+m|≤M；
（2）∵f（0）=m，|f（0）|=|m|≤M，
∴|（1+m）-m|≤|1+m|+|m|≤2M，
∴M≥．
∴M的最小值為，
根據題意得出：1-m+m=，1+m+m=，
解得：，
∴M取最小值時，函數f（x）的解析式為：y=x²-．
點評：此題主要考查了函數定義域的性質，利用不等式的性質得出|（1-m+m）+（1+m+m）|≤|1-m+m|+|1+m+m|是解決問題的關鍵．