Question

如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,點P從點A出發沿AD向點D勻速運動,速度是1cm/s,過點P作PE∥AC交DC于點E.同時,點Q從點C出發沿CB方向,在射線CB上勻速運動,速度是2cm/s,連接PQ,QE,PQ與AC交與點F,設運動時間為t（s）（0＜t＜8）．

（1）當t為何值時,四邊形PFCE是平行四邊形；

（2）設△PQE的面積為s（cm²），求s與t之間的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻t,使得△PQE的面積為矩形ABCD面積的；

（4）是否存在某一時刻t,使得點E在線段PQ的垂直平分線上．

Answer 1

解：（1）PD=8﹣t，CQ=2t，根據題意得：8﹣t=2t，解得：t=；

（2）S_{四邊形PDCQ}=（PD+CQ）•CD=×6（8﹣t+2t）=3（8+t）=3t+24，

∵PE∥AC，∴，∴=，則DE=﹣t+6，則EC=6﹣（﹣t+6）=t，

則S_△PDE=PD•DE=（8﹣t）•（﹣t+6），S_△CQE=CQ•EC=×2t•t=t²，

則s=3t+24﹣（8﹣t）•（﹣t+6）﹣t²，即s=﹣t²+3t；

（3）S_矩形ABCD=6×8=48，根據由題意得：﹣ t²+3t=×48，解得：t=2或6；

（4）在直角△PDE中，PD²=（8﹣t）²+（﹣t+6）²，

在直角△COQ中，QE²=（2t）²+（t）²，

當點E在線段PQ的垂直平分線上時，PD²=QE²，

則（8﹣t）²+（﹣t+6）²=（2t）²+（t）²，

解得：t=或（舍去）．則t=．