Question

11．如圖，已知cos∠ABM=$\frac{4}{5}$，AB=20，C是射線BM上一點．
（1）求點A到BM的距離；
（2）在下列條件中，可以唯一確定BC長的是②③（填寫所有符合條件的序號），
①AC=13；②tan∠ACB=$\frac{12}{5}$； ③連接AC，△ABC的面積為126．

Answer 1

分析 （1）過A作AH⊥BC于H，利用余弦定義可計算出BH=16，在利用勾股定理可計算出AH=12，
（2）由于以A為圓心，13為半徑作圓與BM有兩個交點，即此時C點有兩個，BC的長不確定；若tan∠ACB=$\frac{12}{5}$，在Rt△ACH中利用正切的定義可求出CH=5，所以BC=BH+CH=21；若當△ABC的面積為126時，則可利用三角形面積公式求出BC的長，于是得到符合條件的序號．

解答 解：（1）過A作AH⊥BC于H，
∵cos∠ABM=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴BH=$\frac{4}{5}$×20=16，
∴AH=$\sqrt{2{0}^{2}-1{6}^{2}}$=12，
即點A到BM的距離為12；
（2）當AC=13時，以A為圓心，13為半徑作圓與BM有兩個交點，所以此時C點有兩個；
當tan∠ACB=$\frac{12}{5}$，在Rt△ACH中，tan∠ACH=$\frac{AH}{CH}$=$\frac{12}{5}$，則CH=5，所以BC=BH+CH=16+5=21；
當△ABC的面積為126時，則$\frac{1}{2}$•12•BC=216，所以BC=36．
故答案為②③．

點評 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．解決本題的關鍵是靈活運用勾股定理和銳角三角函數的定義．