Question

⊙O的半徑為1，以O為原點建立直角坐標系，正方形ABCD的頂點B的坐標為（5，0），點D在⊙O上運動，當CD與圓相切時，直線OD的解析式為________．

Answer 1

y=-或y=-x
分析：分兩種情況：①D₁點在第二象限時；②D₂點在第四象限時；再根據相似三角形的性質，可得比例關系式，代入數據可得CD所在直線對應的函數關系．
解答：解：直線CD與⊙O相切分兩種情況：
①如圖1，設D₁點在第二象限時，
過D₁作D₁E₁⊥x軸于點E₁，設此時的正方形的邊長為a，
∴（a-1）²+a²=5²，
∴a=4或a=-3（舍去），
∵Rt△BOA∽Rt△D₁OE₁
∴==，
∴OE₁=，D₁E₁=，
∴D₁（-，），
代入y=kx，
=-k，
∴k=-，
∴直線OD的函數關系式為y=-x，
②如圖2，設D₂點在第四象限時，過D₂作D₂E₂⊥x軸于點E₂，
設此時的正方形的邊長為b，則（b+1）²+b²=5²，
解得b=3或b=-4（舍去）．
∵Rt△BOA∽Rt△D₂OE₂，
∴==，
∴OE₂=，D₂E₂=，
∴D₂（，-），
代入y=ax，
-=a，
∴k=-，
∴直線OD的函數關系式為y=-x，
故答案為：y=-或y=-x．
點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用，本題難度較大，要求學生有較強的綜合分析能力及數形結合分析解決問題的能力．