Question

⊙O的半徑為1，以O為原點建立直角坐標系，正方形ABCD的頂點B的坐標為（5，0），點D在⊙O上運動，當CD與圓相切時，直線OD的解析式為

y=-

4

3

x或y=-

3

4

x

．

Answer 1

分析：分兩種情況：①D₁點在第二象限時；②D₂點在第四象限時；再根據相似三角形的性質，可得比例關系式，代入數據可得CD所在直線對應的函數關系．

解答：解：直線CD與⊙O相切分兩種情況：
①如圖1，設D₁點在第二象限時，
過D₁作D₁E₁⊥x軸于點E₁，設此時的正方形的邊長為a，
∴（a-1）²+a²=5²，
∴a=4或a=-3（舍去），
∵Rt△BOA∽Rt△D₁OE₁
∴

OE 1

OA

=

D1E1

BA

=

OD1

OB

，
∴OE₁=

3

5

，D₁E₁=

4

5

，
∴D₁（-

3

5

，

4

5

），
代入y=kx，

4

5

=-

3

5

k，
∴k=-

4

3

，
∴直線OD的函數關系式為y=-

4

3

x，

②如圖2，設D₂點在第四象限時，過D₂作D₂E₂⊥x軸于點E₂，
設此時的正方形的邊長為b，則（b+1）²+b²=5²，
解得b=3或b=-4（舍去）．
∵Rt△BOA∽Rt△D₂OE₂，
∴

OE2

AO

=

D2E2

AB

=

OD2

BO

，
∴OE₂=

4

5

，D₂E₂=

3

5

，
∴D₂（

4

5

，-

3

5

），
代入y=ax，
-

3

5

=

4

5

a，
∴k=-

3

4

，
∴直線OD的函數關系式為y=-

3

4

x，
故答案為：y=-

4

3

x或y=-

3

4

x．

點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用，本題難度較大，要求學生有較強的綜合分析能力及數形結合分析解決問題的能力．