Question

已知⊙O的半徑為1，以O為原點，建立如圖所示的直角坐標系．有一個正方形ABCD，頂點B的坐標為（-

13

，0），頂點A在x軸上方，頂點D在⊙O上運動．
（1）當點D運動到與點A、O在一條直線上時，CD與⊙O相切嗎？如果相切，請說明理由，并求出OD所在直線對應的函數表達式；如果不相切，也請說明理由；
（2）設點D的橫坐標為x，正方形ABCD的面積為S，求出S與x的函數關系式，并求出S的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）易證CD是⊙O的切線，根據Rt△ODE∽Rt△OBA得到DE的長，再求出D₁的坐標，根據待定系數法，求出函數解析式；
（2）過點D作DG⊥OB于G，連接BD、OD，則BD²=BG²+DG²=（BO-OG）²+OD²-OG²，所以S=AB²=

1

2

BD²=7+

13

x，因為-1≤x≤1，所以S的最大值就可以求出．

解答：解：（1）CD與⊙O相切．
∵A、D、O在一直線上，∠ADC=90°，
∴∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切線．
CD與⊙O相切時，有兩種情況：
①切點在第二象限時（如圖1），
設正方形ABCD的邊長為a，則a²+（a+1）²=13，
解得a=2，或a=-3（舍去），
過點D作DE⊥OB于E，
則Rt△ODE∽Rt△OBA，
∴

OD

OB

=

DE

BA

=

OE

OA

，
∴DE=

2 13

13

，OE=

3 13

13

，
∴點D₁的坐標是（-

3 13

13

，

2 13

13

），
∴OD所在直線對應的函數表達式為y=-

2

3

x；
②切點在第四象限時（如圖2），
設正方形ABCD的邊長為b，則b²+（b-1）²=13，
解得b=-2（舍去），或b=3，
過點D作DF⊥OB于F，則Rt△ODF∽Rt△OBA，
∴

OD

OB

=

OF

OA

=

DF

BA

，
∴OF=

2 13

13

，DF=

3 13

13

，
∴點D₂的坐標是（

2 13

13

，-

3 13

13

），
∴OD所在直線對應的函數表達式為y=-

3

2

x；

（2）如圖3，
過點D作DG⊥OB于G，連接BD、OD，
則BD²=BG²+DG²=（BO-OG）²+OD²-OG²=（-

13

-x）²+1-x²=14+2

13

x，
∴S=AB²=

1

2

BD²=7+

13

x，
∵-1≤x≤1，
∴S的最大值為7+

13

，S的最小值為7-

13

．

點評：最值問題的解決方法，一般是轉化為函數問題，轉化為求函數的最值．