Question

7．如圖，在正方形ABCD中，AB=12，點E在邊CD上，連接AE，將△ADE沿AE翻折，點D落在點F處，點O是對角線BD的中點，連接OF并延長與CD相交于點G，若$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，則FG的長度是$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 如圖，延長EF交BC于M，連接AM，OM，作FN⊥CD于N，FR⊥BC于R，GH⊥OM于H交FR于T，首先證明△AMF≌△AMB，得BM=MF，設BM=MF=x，在RT△EMC中利用勾股定理求出x，推出BM=MC，設GC=y，根據FT∥OH，得$\frac{FT}{OH}=\frac{TG}{GH}$=$\frac{RC}{CM}=\frac{EF}{EM}$=$\frac{2}{5}$，列出方程求出GC，再想辦法分別求出FG即可解決問題．

解答 解；如圖延長EF交BC于M，連接AM，OM，作FN⊥CD于N，FR⊥BC于R，GH⊥OM于H交FR于T．
∵將△ADE沿AE翻折，點D落在點F處，
∴DE=EF，AD=AF=AB，
∵$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，AB=12，
∴EF=DE=4，CE=8，
在RT△AMF和RT△AMB中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM}\\{AF=AB}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△AMB，
∴BM=MF，設BM=MF=x，
在RT△EMC中，∵EM²=EC²+MC²，
∴（4+x）²=（12-x）²+8²，
∴x=6，
∴BM=MC=6，
∵OB=OD，
∴OM=$\frac{1}{2}$CD=6，
∵FR∥EC，
∴$\frac{FR}{EC}=\frac{MF}{ME}$，
∴$\frac{FR}{8}$=$\frac{6}{10}$，
∴FR=$\frac{24}{5}$，
設CG=y，則FT=$\frac{24}{5}$-y．OH=6-y，
∵FT∥OH，
∴$\frac{FT}{OH}=\frac{TG}{GH}$=$\frac{RC}{CM}=\frac{EF}{EM}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{\frac{24}{5}-y}{6-y}$=$\frac{2}{5}$，RC=$\frac{12}{5}$，
∴y=4，FN=CR=$\frac{12}{5}$，
∴CG=4，NG=CN-CG=$\frac{4}{5}$，
在Rt△FNG中，FG=$\sqrt{F{N}^{2}+N{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查正方形的性質、翻折變換、全等三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形，利用勾股定理構建方程解決問題，題目比較難，屬于中考填空題中的壓軸題．