Question

如圖是一個面積為1的三角形，現進行如下操作：
第一次操作：依次連接這個三角形三邊的中點，構成四個三角形，挖去中間一個三角形，并在挖去的三角形上貼上數字標簽“1”；
第二次操作：分別連接剩余的3個三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形，同時在挖去的三角形上都貼上數字標簽“2”；
第三次操作：分別連接剩余的各三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形，同時在挖去的三角形上都貼上數字標簽“3”；如此下去．
（1）第三次操作要用______張數字標簽“3”；
（2）求第六次操作后挖去的所有三角形的個數和；
（3）如果一直操作下去，挖去的所有三角形的面積和將怎樣變化？

Answer 1

解：（1）觀察圖形發現：第三次操作要用9張數字標簽“3”；
（2）第一次操作后挖去1個三角形，
第二次操作后共挖去1+3=4個三角形，
第三次操作共挖去1+3+3²=13個三角形；
第四次操作共挖去1+3+3²+3³=40個，
…
第六次操作后共挖去1+3+3²+3³+3⁴+3⁵=364個三角形．

（3）如果一直操作下去，挖去的所有三角形的面積和將越來越接近1．
分析：（1）觀察圖形直接回答即可；
（2）用窮舉法一一列舉出來即可；
（3）最后面積和越來越接近1；
點評：本題考查了圖形的變化類問題，發現圖形的變化規律是解決此類問題的關鍵．