Question

已知平面直角坐標系中兩定點A（-1，0），B（4，0），拋物線（）過點A、B，頂點為C．點P（m，n）（n<0）為拋物線上一點．

（1）求拋物線的解析式與頂點C的坐標．

（2）當∠APB為鈍角時，求m的取值范圍．

（3）若，當∠APB為直角時，將該拋物線向左或向右平移t（）個單位，點P、C移動后對應的點分別記為、，是否存在t，使得首尾依次連接A、B、、所構成的多邊形的周長最短？若存在，求t值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 (1)解:依題意把的坐標代入得: ;解得:

拋物線解析式為

頂點橫坐標,將代入拋物線得

(2)如圖,當時,設,

則

過作直線軸,

(注意用整體代入法)

解得

,

當在之間時，

或時，為鈍角.

(3)依題意，且

設移動（向右，向左）

連接

則

又的長度不變

四邊形周長最小，只需最小即可

將沿軸向右平移5各單位到處

沿軸對稱為

∴當且僅當、B、三點共線時，最小，且最小為，此時

，設過的直線為，代入

∴  即

將代入，得：，解得：

∴當，P、C向左移動單位時，此時四邊形ABP’C’周長最小。