Question

（2004•靜安區二模）如圖，在△ABC中，點D、G分別在BC、AB邊上，AD與CG相交H，如果DA=DB，GB=GC，AD平分∠BAC，那么下列三角形中不與△ABC相似的是（　　）

A．△ABD

B．△ACD

C．△AGH

D．△CDH

Answer 1

分析：由DA=DB，GB=GC，利用等邊對等角得到兩對角相等，再根據AD為角平分線，得到一對角相等，等量代換可得∠BAD=∠B=∠GCB=∠CAD，由∠CAD=∠B，加上一對公共角相等可得△ACD∽△BCA；由∠AHG為三角形ACH的外角，利用外角性質得到∠AHG=∠ACH+∠DAC，由∠ACD=∠ACH+∠GCB，可得出∠AHG=∠ACD，再由∠BAD=∠B，可得△AHG∽△ACB；由對頂角相等可得∠CHD=∠AHG，再由∠AHG=∠ACD等量代換可得∠CHD與∠ACD相等，再加上∠B=∠GCB，可得出△CDH∽△BAC；而三角形ABD與三角形ABC不滿足相似的條件，進而確定出正確的選項．

解答：解：∵DA=DB，GB=GC，
∴∠BAD=∠B，∠B=∠GCB，
又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠B=∠GCB=∠CAD，
∴∠CAD=∠B，又∠ACD=∠CBA（公共角），
∴△ACD∽△BCA；
∵∠AHG為△DHC的外角，
∴∠AHG=∠ACH+∠DAC，
又∠ACD=∠ACH+∠GCB，且∠DAC=∠GCB，
∴∠AHG=∠ACD，又∠BAD=∠B，
∴△AHG∽△ACB；
∵∠CHD=∠AHG（對頂角相等），且∠AHG=∠ACD，
∴∠CHD=∠ACD，又∠B=∠GCB，
∴△CDH∽△BAC；
而∠B=∠B，∠BAD不等于∠ACB，則△ABD不相似△ABC，
則題中△ACD∽△BCA；△AHG∽△ACB；△CDH∽△BAC．
故選A．

點評：此題考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性質，三角形外角性質，利用了轉化及等量代換的數學思想，其中相似三角形的判定方法為：兩對對應角相等的兩三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似；三邊對應成比例的兩三角形相似．