Question

7．若三角形的3條邊長a，b，c是整數，且一邊上的高恰等于另兩條邊上的高之和，這樣的三角形叫做“玲瓏三角形”．求證：
（1）存在“玲瓏三角形”；
（2）“玲瓏三角形”中，a²+b²+c²是一個完全平方數．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的三邊關系進行證明即可；
（2）設三角形的面積為S，根據一邊上的高恰等于另兩條邊上的高之和，利用完全平方公式解答即可．

解答 證明：（1）設三角形的面積為S，設c邊上的高是另兩條高之和則$\frac{2s}{a}+\frac{2s}{b}=\frac{2s}{c}$，
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，
c（a+b）=ab，
當a=b=2，c=1時，滿足c（a+b）=ab，
2+1＞2，符合三角形的條件，
所以存在“玲瓏三角形”；
（2）設三角形的面積為S，設c邊上的高是另兩條高之和則$\frac{2s}{a}+\frac{2s}{b}=\frac{2s}{c}$，
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，
c（a+b）=ab，
b²+a²+c²=（a+b）²-2ab+c²=（a+b-c）²，
因為a、b、c都為整數，所以a+b-c為整數，
所以a²+b²+c²是一個完全平方數．

點評 此題考查三角形邊角關系，在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．