Question

若實數a滿足a³+a²-3a+2=

3

a

-

1

a2

-

1

a3

，則a+

1

a

=

2或-3

Answer 1

分析：首先把等式移項a³+a²-3a+2-

3

a

+

1

a2

+

1

a3

=0，然后分組，分別利用立方和公式、完全平方公式、分解因式得到（a+

1

a

）（a+

1

a

+3）（a+

1

a

-2）=0，由此即可求出結果．

解答：解：∵實數a滿足a³+a²-3a+2=

3

a

-

1

a2

-

1

a3

，
∴a³+a²-3a+2-

3

a

+

1

a2

+

1

a3

=0，
∴a³+

1

a3

+a²+

1

a2

+2-3（a+

1

a

）=0，
（a+

1

a

）（a²-1+

1

a2

）+（a+

1

a

）²-3（a+

1

a

）=0，
（a+

1

a

）（a²-1+

1

a2

+a+

1

a

-3）=0，
∴（a+

1

a

）[（a+

1

a

）²+（a+

1

a

）-6]=0，
∴（a+

1

a

）（a+

1

a

+3）（a+

1

a

-2）=0，
而a+

1

a

≠0，
∴a+

1

a

+3=0，或a+

1

a

-2=0，
∴a+

1

a

=-3或2．
故答案為：-3或2．

點評：此題主要考查了立方差公式、完全平方公式及利用分組法分解因式，解題的關鍵通過分組能夠分解因式，也利用了整體代值的思想，題目比較難，對于學生的代數變形的能力要求比較高．