Question

【題目】如圖在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+6與x軸、y軸分別交于B、A兩點，點P從點A開沿y軸以每秒1個單位長度的速度向點O運動，點Q從點A開始沿AB向點B運動（當P，Q兩點其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動）如果點P，Q從點A同時出發，設運動時間為t秒．

（1）如果點Q的速度為每秒個單位長度，那么當t＝5時，求證：△APQ∽△ABO；

（2）如果點Q的速度為每秒2個單位長度，那么多少秒時，△APQ的面積為16？

（3）若點H為平面內任意一點，當t＝4時，以點A，P，H，Q四點為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出此時點H的坐標．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2秒時，△APQ的面積為16；（3）點H的坐標為：（，6），（﹣，4）．

【解析】

（1）根據已知得：直線與x、y軸的交點B（8，0）、A（0，6），AP＝5，AQ＝3，對應邊成比例且夾角相等即可證明；

（2）作QE⊥y軸于點E，用含t的式子表示AP和QE，利用三角形的面積即可求解；

（3）根據題意畫出矩形即可寫出點H的坐標．

（1）根據題意，得

當t＝5時，AP＝5，AQ＝3，

∴B（8，0），A（0，6），

∴OB＝8，OA＝6，∴AB＝10，

∴＝＝，∠PAQ＝∠BAO，

∴△APQ∽△ABO；

（2）如圖：

過點Q作QE⊥OA于點E，

在Rt△AOB和Rt△AQE中，

sin∠BAO＝＝，sin∠QAE＝＝，

∴＝，

∴QE＝t，

∴S△APQ＝APQE＝16，

即×t×t＝16

∴t＝2．

答：那么2秒時，△APQ的面積為16．

（3）如圖：

設點Q的速度為每秒x個單位長度，

當t＝4時，AP＝4，AQ＝4x，

∵以點A，P，H，Q四點為頂點的四邊形是矩形，

∴PQ∥OB，

∴＝，即＝，

∴PQ＝，

∴H（，6）．

設點Q的速度為每秒x個單位長度，

當t＝4時，AP＝4，AQ＝4x，

∵以點A，P，H，Q四點為頂點的四邊形是矩形，

當AP為矩形對角線時，

＝

解得x＝

∴Q′C＝＝．

∴H（﹣，4）．

所以點H的坐標為：（，6）．（﹣，4）．