Question

（本題14分）已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是線段BC的中點，連接DM、EM.

（1）若DE＝3，BC＝8，求△DME的周長；

（2）若∠A＝60°，求證：∠DME＝60°；

（3）若BC2＝2DE2，求∠A的度數．

 

Answer 1

（1）11；（2）見解析（3）∠A＝45°

【解析】

試題分析：（1）由三角形的高可以得到∠CDB＝∠BEC＝90°，再由直角三角形的斜邊上的中點得出DM和EM的長，從而得結果.

（2）由直角三角形的斜邊上的中點得出DM和EM的長，從而得DM＝BM，EM＝CM，進而得到∠DME＝60°，

（3）由DM＝EM＝BC，得，得到△DEM，從而求出結果.

試題解析：（1）∵∠CDB＝∠BEC＝90°，點M為BC的中點，

∴DM＝EM＝BC＝4，

又∵DE＝3，

∴△DME的周長＝DM+EM+DE＝11；

（2）∵∠A＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝120°，

∵DM＝EM＝BC，

∴DM＝BM，EM＝CM，

∴∠DMB＝180°－2∠ABC，∠EMC＝180°－2∠ACB，

∴∠DME＝180°－∠DMB－∠EMC＝2（∠ABC+∠ACB）－180°，

∴∠DME＝60°；

（3）∵DM＝EM＝BC，BC2＝2DE2，

∴DM2＝EM2＝DE2，

∴，

∴∠DME＝90°，

∴∠DMB+∠EMC＝90°，

∵∠DMB＝180°－2∠ABC，∠EMC＝180°－2∠ACB，

∴∠ABC+∠ACB＝135°，

∴∠A＝45°

考點：三角形的高，直角三角形的斜邊上的中點，勾股定理