Question

4．觀察下列有規律的數：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{20}$，$\frac{1}{30}$，$\frac{1}{42}$…根據規律可知
（1）第7個數是$\frac{1}{56}$，第n個數是$\frac{1}{n（n+1）}$（n為正整數）；
（2）$\frac{1}{132}$是第11個數；
（3）計算$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$．

Answer 1

分析 通過觀察得到：這列數依次可化為$\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{2×3}$，$\frac{1}{3×4}$…$\frac{1}{n（n+1）}$計算解答即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2×3}$，$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3×4}$，$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{4×5}$，$\frac{1}{30}$=$\frac{1}{5×6}$，$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6×7}$，$\frac{1}{56}=\frac{1}{7×8}$，$\frac{1}{n（n+1）}$；
（2）$\frac{1}{132}=\frac{1}{11×12}$，所以是第11個數；
（3）$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$
=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$
=$\frac{2016}{2017}$；
故答案為：$\frac{1}{56}$；$\frac{1}{n（n+1）}$；11．

點評 此題考查了規律型：數字的變化，解此類題目，關鍵是根據所給的條件找到規律．本題的關鍵是把數據變形得到分母的規律為n（n+1）．